Class 10th - Ch-8 - Trigonometry

 

Trigonometry ka pronunciation Hindi mein hota hai:

🔹 त्रिग्नोमेट्री
👉 Tṛig-no-me-ṭrī
(त्रि = तीन, कोण = angle, मेट्री = मापन)

हिंग्लिश में:
Trig-no-me-tree (त्रिग्नोमेट्री)

Yeh word teen angles (triangle ke angles) ke measurement aur relation se related hota hai.0

🔰 Trigonometry Kya Hai?

Trikonmiti ka matlab hota hai — "triangle + measurement".

Yeh right-angle triangle (जिसमें एक कोण 90° होता है) ke sides aur angles ke beech ke relation ko samjhata hai.

उच्चारण (Pronunciation in Hindi):

त्रिकोणमिति — Tri-koṇ-mi-ti

(त्रि = तीन, कोण = कोना या एंगल, मिति = मापना)

🔸 अर्थ:

त्रिकोणमिति का मतलब है — तीन कोणों वाले आकार (जैसे त्रिभुज) के कोणों और भुजाओं के बीच के संबंधों का अध्ययन।

📚 उदाहरण:

त्रिकोणमिति से हम यह जान सकते हैं कि अगर त्रिभुज की एक भुजा और एक कोण दिया है, तो बाकी भुजाएं कैसे निकाली जा सकती हैं।

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🟦 त्रिकोणमिति क्या है?

👉 जब भी कोई तीन कोनों वाली आकृति हो — जिसे हम त्रिभुज कहते हैं —

और हमें उसके कोनों (angles) और साइड्स (भुजाओं) के बीच का रिश्ता समझना हो,

तो जो तरीका हम पढ़ते हैं, उसे कहते हैं त्रिकोणमिति।

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🟨 त्रिकोणमिति शब्द का मतलब?

"त्रि" मतलब तीन

"कोण" मतलब एंगल

"मिति" मतलब नापना

तो, त्रिकोणमिति = तीन कोनों को नापने का तरीका

यानि angles और sides के बीच की दोस्ती को समझना!

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🟥 क्यों पढ़ते हैं त्रिकोणमिति?

ताकि हम यह जान सकें:

1. अगर एक साइड और एक कोण पता हो तो बाकी साइड्स कैसे निकालें?

2. अगर ऊँचाई और दूरी मापनी हो बिना चढ़े, तो कैसे करें?

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🟩 Pronunciation (उच्चारण):

त्रिकोणमिति — Tri-kon-mi-ti

(Hinglish: Trig-no-me-tree)

📏 Basic Sides in Right-Angle Triangle

Agar angle θ (theta) hum A पर मानते हैं, toh:

Perpendicular (lambi wali side) = सामने वाली side (opp. to angle A)

Base = नीचे वाली side (adjacent to angle A)

Hypotenuse (sabse badi side) = 90° ke saamne wali side

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📚 Basic Trigonometric Ratios (Formulas):

Ratio Formula Pronunciation Use

sin θ perpendicular / hypotenuse साइन थीटा सामने और सबसे लंबी side

cos θ base / hypotenuse कॉस थीटा नीचे और सबसे लंबी side

tan θ perpendicular / base टैन थीटा सामने और नीचे वाली side

cot θ base / perpendicular कॉट थीटा उल्टा टैन

sec θ hypotenuse / base सेक थीटा उल्टा कॉस

cosec θ hypotenuse / perpendicular कोसेक थीटा उल्टा साइन

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🔹 प्रश्न 1 (sin A, cos A, sin C, cos C)

दी गई triangle: AB = 24 cm, BC = 7 cm, ∠B = 90°

Step 1: AC = √(AB² + BC²) = √(576 + 49) = √625 = 25 cm

Step 2:

sin A = BC / AC = 7 / 25

cos A = AB / AC = 24 / 25

sin C = AB / AC = 24 / 25

cos C = BC / AC = 7 / 25

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🔹 प्रश्न 2 (tan P – cot R)

दी गई triangle: PR = 13 cm, PQ = 12 cm

QR = √(13² – 12²) = √(169 – 144) = √25 = 5 cm

tan P = PQ / QR = 12 / 5

cot R = QR / PQ = 5 / 12

tan P – cot R = 12/5 – 5/12 = (144 – 25)/60 = 119/60

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🔹 प्रश्न 3 (cos A aur tan A)

Diya: sin A = 3 / 5

Iska matlab perpendicular = 3k, hypotenuse = 5k

Toh base = √(5k)² – (3k)² = √(25 – 9)k² = √16k² = 4k

cos A = base / hypotenuse = 4k / 5k = 4/5

tan A = perpendicular / base = 3k / 4k = 3/4

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🔹 प्रश्न 4 (cot A = 8/15, find sin A and sec A)

Diya: cot A = 8 / 15 ⇒ base = 8k, perpendicular = 15k

Hypotenuse = √(8² + 15²)k = √(64 + 225)k = √289k = 17k

sin A = 15k / 17k = 15/17

sec A = 17k / 8k = 17/8

🧠 याद रखने वाली बातें:

sin²θ + cos²θ = 1

1 + tan²θ = sec²θ

1 + cot²θ = cosec²θ

🔹 प्रश्न 5

Diya hai: sec θ = 13 / 12

Mtlb:

Hypotenuse (कर्ण) = 13k

Base (आधार) = 12k

Toh perpendicular (लंब) = √(13² – 12²) = √(169 – 144) = √25 = 5k

Ab:

sin θ = लंब / कर्ण = 5 / 13

cos θ = आधार / कर्ण = 12 / 13

tan θ = लंब / आधार = 5 / 12

cosec θ = कर्ण / लंब = 13 / 5

cot θ = आधार / लंब = 12 / 5

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🔹 प्रश्न 6

Diya hai: cos A = cos B

cos A = AP / AQ

cos B = AQ / BD

Agar dono equal hai toh triangles APQ ≅ CBD honge (SSS से)

Isliye ∠A = ∠B

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🔹 प्रश्न 7

Diya hai: cot θ = 7 / 8

Toh perpendicular = 8k, base = 7k

Hypotenuse = √(8² + 7²) = √113 = √113k

(i) 

= (1 – sin²θ) / (1 – cos²θ)

Put values → sin θ = 8 / √113, cos θ = 7 / √113

Answer: 64 / 49

(ii) cot²θ = (7 / 8)² = 49 / 64

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🔹 प्रश्न 8

Diya hai: cot A = 4

Toh cot A = 4 / 1 = 4k / k

Base = 4k, perpendicular = k

Hypotenuse = √(4² + 1²) = √(16 + 9) = √25 = 5k

Check:

Left side = (1 – tan² A) / (1 + tan² A) = (1 – 1/16) / (1 + 1/16) = 15/17 ÷ 17/16 = 7/25

Right side = cos² A – sin² A = (4/5)² – (3/5)² = 16/25 – 9/25 = 7/25

✅ Both sides equal – hence proved.

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🔹 प्रश्न 9

Diya hai: tan A = 1 / √3

Toh: perpendicular = 1k, base = √3k

Hypotenuse = √(1² + (√3)²) = √(1 + 3) = √4 = 2k

(i) sin A cos C + cos A sin C = 1/2 × √3/2 + √3/2 × 1/2 = (√3 + √3)/4 = √3/2

(ii) cos A cos C – sin A sin C = √3/2 × √3/2 – 1/2 × 1/2 = 3/4 – 1/4 = 1/2

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🔹 प्रश्न 10

PQ = 5 cm, QR = 25 cm, OQ = 1 cm ⇒ PR = 25 – x

PR² = PQ² + QR² = 5² + x²

625 = 25 + x² ⇒ x = 12 ⇒ QR = 12

Ab sin P = 5 / 13, cos P = 12 / 13, tan P = 5 / 12

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🔹 प्रश्न 11

सही/गलत बताइए:

(i) ❌ tan A का मान 1 से कम नहीं होता, क्योंकि tan A = लंब / आधार hota hai. Agar लंब > आधार, toh tan A > 1

(ii) ✅ sec A = कर्ण / आधार – कर्ण हमेशा आधार से बड़ा होता है

(iii) ❌ cos A = आधार / कर्ण hota hai – ये cosecant नहीं होता

(iv) ❌ cot A × cot A = cot² A hota hai – कोई formula नहीं

(v) ❌ sin θ = लंब / कर्ण होता है, 4/3 नहीं हो सकता क्योंकि कर्ण सबसे लंबी side होती है