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Chapter 3: Quadrilaterals and Polygons
This chapter covers key concepts, formulas, and properties of quadrilaterals and polygons, including the types of quadrilaterals, their properties, and how to calculate their area and perimeter.
Key Terms
- Parallelogram: A quadrilateral where opposite sides and angles are equal.
- Rectangle: A parallelogram with all angles equal to 90°.
- Square: A rectangle with all sides equal.
- Rhombus: A parallelogram with all sides equal, but angles are not necessarily 90°.
- Trapezium: A quadrilateral with only one pair of opposite sides parallel.
Important Formulas
Area of Parallelogram: Base × Height
Perimeter of Parallelogram: 2 × (Base + Side)
Area of Square: Side²
Perimeter of Square: 4 × Side
Area of Trapezium: (Sum of parallel sides × Height) / 2
Angle sum in Polygon: (n-2) × 180°
Exterior angle of Polygon: 360° / Number of sides
Example with Solution
Example: Find the area of a square with side 5 cm.
Solution: To find the area of the square, use the formula:
Area = Side² = 5² = 25 cm²
Mistakes to Avoid
- Confusing a Rectangle with a Square: Square has equal sides; Rectangle doesn’t necessarily have equal sides.
- Confusing Parallelograms with Trapezium: Parallelogram has two pairs of parallel sides, while Trapezium has only one pair of parallel sides.
- Forgetting to apply angle sum property when solving for angles.
Tips for Students
- Visualize the shapes by drawing them.
- Use flashcards to remember formulas and properties.
- Practice problems to strengthen concepts.
- Use mnemonics for remembering properties.
- Always check the angle sum properties in polygons.
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अधिकार शब्द (Key Terms)
- समांतर चतुर्भुज (Parallelogram): एक चतुर्भुज जिसमें विपरीत भुजाएँ और कोण समान होते हैं।
- आयत (Rectangle): एक समांतर चतुर्भुज जिसमें सभी कोण 90° होते हैं।
- वर्ग (Square): एक आयत जिसमें सभी भुजाएँ समान होती हैं।
- समचतुर्भुज (Rhombus): एक समांतर चतुर्भुज जिसमें सभी भुजाएँ समान होती हैं, लेकिन कोण 90° नहीं होते।
- समचतुर्भुज (Trapezium): एक चतुर्भुज जिसमें केवल एक जोड़ी विपरीत भुजाएँ समांतर होती हैं।
महत्वपूर्ण सूत्र (Formulas)
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल: आधार × ऊँचाई
समांतर चतुर्भुज का परिमाप: 2 × (आधार + भुजा)
वर्ग का क्षेत्रफल: साइड²
वर्ग का परिमाप: 4 × साइड
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल: (समांतर भुजाओं का योग × ऊँचाई) / 2
बहुभुज का कोण योग: (n - 2) × 180°
बहुभुज का बाह्य कोण: 360° / भुजाओं की संख्या
उदाहरण और समाधान (Example with Solution)
उदाहरण: एक वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसकी भुजा 5 सेंटीमीटर है।
समाधान: क्षेत्रफल निकालने के लिए सूत्र का उपयोग करें:
क्षेत्रफल = साइड² = 5² = 25 सेंटीमीटर²
गलतियाँ करने से बचें (Mistakes to Avoid)
- आयत और वर्ग के बीच भ्रम: वर्ग की भुजाएँ समान होती हैं, जबकि आयत में भुजाएँ समान नहीं होतीं।
- समांतर चतुर्भुज और समचतुर्भुज के बीच भ्रम: समांतर चतुर्भुज में दोनों जोड़ी भुजाएँ समान होती हैं, जबकि समचतुर्भुज में केवल एक जोड़ी समान होती है।
- कोणों के योग को ध्यान में न रखना: कोणों का योग हमेशा 180° या 360° होता है, इसे भूलकर हल न करें।
विद्यार्थियों के लिए टिप्स (Tips for Students)
- आकृतियों को ड्रॉ करके उन्हें विज़ुअलाइज़ करें।
- सूत्रों और गुणों को याद रखने के लिए फ्लैशकार्ड्स का उपयोग करें।
- समस्याओं का अभ्यास करें ताकि अवधारणाएँ मजबूत हों।
- गुणों को याद रखने के लिए **mnemonics** का उपयोग करें।
- हमेशा बहुभुजों के कोण योग की प्रॉपर्टी की जांच करें।
और उदाहरण (Additional Examples)
उदाहरण: एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल निकालें जिसकी आंतरिक्षों के बीच 12 सेंटीमीटर और 14 सेंटीमीटर की लंबाई है।
समाधान: समचतुर्भुज का क्षेत्रफल निकालने के लिए निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करें:
सूत्र: क्षेत्रफल = \frac{1}{2} \times (आधार + समांतर भुजाओं का योग) \times ऊँचाई
यहाँ, आधार = 12 सेंटीमीटर, समांतर भुजाओं का योग = 14 सेंटीमीटर, ऊँचाई = 10 सेंटीमीटर।
क्षेत्रफल = \frac{1}{2} \times (12 + 14) \times 10 = \frac{1}{2} \times 26 \times 10 = 130 \, \text{सेंटीमीटर}^2
विभिन्न चतुर्भुजों की विशेषताएँ (Properties of Various Quadrilaterals)
- समांतर चतुर्भुज: विपरीत भुजाएँ और विपरीत कोण समान होते हैं।
- आयत: सभी कोण 90° होते हैं, और विपरीत भुजाएँ समान होती हैं।
- वर्ग: सभी भुजाएँ समान होती हैं, और सभी कोण 90° होते हैं।
- समचतुर्भुज: सभी भुजाएँ समान होती हैं, लेकिन कोण 90° नहीं होते।
- समचतुर्भुज (Trapezium): केवल एक जोड़ी भुजाएँ समांतर होती हैं।
वर्ग और आयत में अंतर (Difference Between Square and Rectangle)
वर्ग (Square)
- सभी भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं।
- सभी कोण 90° होते हैं।
- क्षेत्रफल = साइड²
आयत (Rectangle)
- विपरीत भुजाएँ समान होती हैं, लेकिन सभी भुजाएँ समान नहीं होतीं।
- सभी कोण 90° होते हैं।
- क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई
समलंब चतुर्भुज (Rhombus) और समचतुर्भुज (Trapezium) में अंतर
समलंब चतुर्भुज (Rhombus)
- सभी भुजाएँ समान होती हैं।
- विपरीत कोण समान होते हैं।
- क्षेत्रफल = \frac{1}{2} \times \text{Diagonal}_1 \times \text{Diagonal}_2
समचतुर्भुज (Trapezium)
- केवल एक जोड़ी विपरीत भुजाएँ समांतर होती हैं।
- क्षेत्रफल = \frac{1}{2} \times (\text{Sum of parallel sides}) \times \text{Height}
आवश्यक टिप्स (Useful Tips)
- हर आकृति के **सभी गुण** समझने की कोशिश करें।
- फ्लैशकार्ड्स का उपयोग करें ताकि **सूत्र और गुण** जल्दी याद हो सकें।
- अक्सर **प्रैक्टिस** करने से **समस्याएँ हल करना आसान** हो जाता है।
- वर्ग, आयत और समचतुर्भुज के बीच **अंतर** समझें ताकि **गलतियाँ** न हों।
- समलंब और समचतुर्भुज के **क्षेत्रफल** के **सूत्र** याद रखें।